aus welt.de, 29. 1. 2024 Geometrie reicht von simplen Dreiecken und Kreisen bis hin zu fraktalen Gebilden zu Philosophierungen
Einfache mathematische Berechnungen kann eine Künstliche Intelligenz wie ChatGPT problemlos bewältigen. Aber das war ja auch schon bislang mit Computern und Taschen-rechnern möglich. Mathematiker fühlen sich indes grob missverstanden, wenn man ihre Kunst lediglich als einen professionellen Umgang mit Zahlen ansieht.
Zahlen spielen in vielen Bereichen der Mathematik keine Rolle – oder nur eine untergeord-nete. In allen der sehr zahlreichen – und oft eben doch zahlarmen – Teilgebiete der Mathe-matik geht es allerdings immer darum, bestimmte Zusammenhänge und Strukturen zu er-kennen und allgemeingültige Sätze und Theoreme zu formulieren. Diese müssen dann nach strengen logischen Regeln bewiesen werden, um als geltig zu gülten.
Das Besondere an mathematischen „Wahrheiten“ ist, dass sie – einmal korrekt bewiesen, für alle Ewigkeit gültig sind – während in den Naturwissenschaften jedes Wissen grund-sätzlich vorläufig bleibt und unter dem Vorbehalt der Falsifizierung steht.
Dazu ein einfaches Beispiel aus dem Geometrie-Unterricht in der Schule. „In jedem Dreieck ist die Summe seiner drei Winkel 180 Grad.“ Dieses Theorem wurde bereits in der Antike bewiesen. An seiner Gültigkeit wird sich auch in Zukunft nichts ändern.
Das Beweisen von Theoremen gehört also zum Kerngeschäft von Mathematikern. Der Beweis bestimmter Aussagen ist dabei so kompliziert, dass Mathematiker bislang jahrelang daran arbeiten. Und es gibt eine Reihe „ungelöster Probleme“ für deren Bewältigung sogar Millionenbeträge ausgesetzt sind.
Dass Computer oder Künstliche Intelligenz den Mathematikern bei der Beweisführung dieser extrem harten Nüsse helfen könnte, gilt aus heutiger Sicht als ausgeschlossen. Doch seit Jahren wird versucht, Computer zum Beweis bestimmter Aussagen zu nutzen. Bei sehr „technischen Beweisen“, in denen sehr viele Detailschritte nach vorgegebenem Muster abgearbeitet werden müssen, hat es da auch schon einige Erfolge gegeben.
Jetzt berichten Forscher der New York University um Trieu Trinh in der Fachzeitschrift „Nature“ von einer Künstlichen Intelligenz, die erstaunlich gut Beweise für Theoreme in der Geometrie liefern kann. Dem AlphaGeometry genannten System wurden 30 Aussagen zur Bearbeitung vorgelegt, die in den Jahren 2000 bis 2020 Teilnehmer der Internationalen Mathematischen Olympiade (IMO) zu beweisen hatten.
AlphaGeometry schaffte es, 25 dieser Probleme zu lösen, also einen korrekten Beweis vorzulegen. Wäre AlphaGeometry ein Student, hätte er auf der IMO mit dieser Quote eine Goldmedaille errungen. Die Künstliche Intelligenz entdeckte zudem eine generalisierte Version eines Theorems, dass im IMO-Wettbewerb des Jahres 2004 bewiesen werden sollte.
Die Forscher betonen insbesondere die Fähigkeit von AlphaGeometry, die Beweisführung in einer von Menschen nachvollziehbaren Form ausgeben zu können. AlphaGeometry, das ein neuronales Sprachmodell nutzt, lässt sich bislang nur für Problemstellungen im Rahmen der ebenen Euklidischen Geometrie einsetzen. Die Forscher zeigen sich aber optimistisch, dass sich KI-Systeme künftig auch in anderen Bereichen der Mathematik einsetzen lassen. Voraussetzung dafür wäre allerdings, dass es auch dort genügend Trainingsmaterial gibt, mit dem die KI in seiner Lernphase gefüttert werden kann. Das ist aber fraglich.
AlphaGeometry wurde mit 100 Millionen geometrischer Theoreme und deren Beweisen trainiert, die von den Forschern als „synthetisch“ bezeichnet werden. In der Geometrie lassen sich Aussagen in großer Zahl konstruieren. Diese Vorarbeit wurde ebenfalls von Computersystemen geleistet. Die „synthetischen Theoreme“ waren dabei von sehr unterschiedlichem Komplexitätsgrad. Viele von ihnen, so schreiben die Forscher, würden mehr als 200 einzelne Schritte in der Beweisführung erfordern. Die bei der Mathematik-Olympiade gestellten Aufgaben erfordern im Durchschnitt nur eine Beweislänge von 50 Schritten.
Nota. - Die Mathematik löst Probleme, die Menschen selbst erdacht haben.
Ist das nicht trivial? Gibt es denn Probleme für andere als für Menschen? Und folglich sol-che, die nicht Menschen erdacht hätten?
Es gibt Probleme für Menschen, die sie nicht lediglich erdacht haben. Nämlich mit Gegen-ständen und Sachverhalten zwischen diesen Gegenständen, die sie nicht erdacht, sondern in ihrem Lebensvollzug wie immer man ihn definieren mag vorgefunden haben. Die Probleme mit den Gegenständen sind eins. Die Probleme mit den Abstraktionen sind nicht dasselbe.
Haben sie aber die Gegenstände der Mathematik nicht in in ihrem wirklichen Leben vorge-funden?
Nein. Die Gegenstände der Mathematik sind Abstraktionen, die sie in der einen oder an-dern Absicht von den vorgefundenen Dingen angefertigt haben.* Die wirklichen Dinge und die Probleme, die man mit ihnen wirklich haben kann, kommen in der Mathemaik gar nicht mehr vor.
Nun haben wir Probleme mit den Gegentänden der Welt ja nicht, weil sie sind, wie sie sind. Das könnte uns ganz gleichgültig sein. Aber einige von ihnen sind uns als Lebensmittel nützlich und notwendig - andere sind uns als Naturgewalten feindlich und gefährlich. Will sagen, mit ihnen müssen wir was anfangen. Ein Problem ist nicht, ob sie so oder anders sind, sondern ob ich dieses oder jenes mit ihnen tun muss.
Tiefer eindringen kann ich nicht in die Dinge: Von denen erfahre ich immer nur durch die spezifischen Widerstände, die sie meinem spezifischen Handlungen entgegen setzen. Will ich meine Wissen spezifizieren, kann ich es nur auf meiner Seite tun, an der Besonderheit mei-ner Tätigkeit, denn nur die ist es, an der ich das Ding merke. Zwar kommt es mir vor, als merkte ich die Dinge selber - aber genau das gehört zu den Spezifizitäten meine Tätig-keit, die ich zu durchleuchten habe. Dass wir immer wieder an den Dingen der Welt, mit denen wir zu tun haben, Eigenarten wahrnehme, die ich in Formeln der Mathematik be-schreiben kann, schreiben wir arglos den Dingen zu, obwohl sie doch nur wie in Platos Höhlengleich-nis Abschattungen der Operationen sind, die wir an ihnen vornehmen.
Mathematik ist Konstruktionslehre. Sie beschreibt in ihrem Zeichensystem, zu wel-chen Konstrukten ich gelange, wenn ich im Reich der Zahlen (=idealiter: in der Zeit; “wie oft?”) diese und im (idealen) Raum (”wo lang?”) jene Operation anstelle. Warum lässt sich die Mathematik “auf die Welt der Dinge anwenden”? Weil ich mir die Welt der Dinge so vorstellen kann, als ob ich sie selber konstruiert hätte; dann beschreibt die Mathematik in ihrem Zeichensystem, wie ich hätte verfahren müssen, um sie so zu konstruieren.
Können wir mit der Mathematik nach überall gelangen, wohin uns unsere Einbildungskraft verschlägt?
Als das wahre Wunder der Welt könnte sich erweisen, dass uns dieses oder jenes an ihr restlos gleichgülig ist, weil wir schlechterdings nichts damit zu tun haben und nichts an-fangen können. Was hieße dann: davon wissen? Bloß interesseloses Betrachten?
*) Wenn ich mit ihnen dieses anfange, ergibt sich jenes, und wenn ich anders verfahre, verändern sie sich anders: Das ist die Situation des Labors.
JE
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