Mathematik ist, in all ihrer Komplexität, eigentlich erstaunlich simpel. Aus einer Reihe von Zahlen, die sich an Fingern abzählen lassen, und wenigen Rechenoperationen, die Kinder bereits in ihren ersten Lebensjahren in der Schule lernen, lässt sich Schritt für Schritt die Mathematik aufbauen – inklusive komplexer Zahlen, unendlichdimensionaler Funktionenräume und allem, was man sonst so an Handwerkszeug braucht, um etwa mittels Physik die Welt bis ins kleinste Detail zu beschreiben. Was nicht heißen soll, dass sich die Möglichkeiten der Mathematik nur darauf beschränken.

Weniger offensichtlich ist, dass auch die Sprache, mit der man Mathematik betreibt, auf einige wenige Grundelemente heruntergebrochen werden kann. Eine Handvoll Worte wie "und", "nicht" und "oder" genügen, um mathematische Aussagen und deren Beweise zu formulieren. Diese Worte folgen dabei Regeln, die eine Algebra bilden, womit die Sprache selbst zu Mathematik wird. Für die Untersuchung der mathematischen Grundlagen erwies sich das vor allem im vergangenen Jahrhundert als enorm wertvoll. Doch es gab auch große praktische Implikationen: Die einfachen Regeln hinter dieser "booleschen" Algebra, wie sie nach dem englischen Mathematiker George Boole genannt wird, erlaubten es, sie Maschinen beizubringen. Damit war der Computer geboren.

Die boolesche Algebra hat dabei eine interessante Besonderheit: Eines ihrer Elemente, in der Computerwissenschaft NAND genannt, das mehr oder weniger "nicht beides" bedeutet, ist in der Lage, alle anderen zu ersetzen. Es ist universell. Das wirft die Frage auf, ob etwas Ähnliches auch in anderen Bereichen der Mathematik möglich ist. Während für bestimmte Teilbereiche der Mathematik durchaus eine einzige Operation ausreicht, um sie vollständig zu durchdringen, war für die klassischen Grundrechnungsarten inklusive allem, was etwa sonst so auf Tasten von Taschenrechnern vertreten ist, bisher keine Operation bekannt, die sie alle ersetzen könnte.

Neue Allzweckfunktion

Bis jetzt. Denn nun scheint der polnische Astrophysiker Andrzej Odrzywołek von der Jagiellonian University im polnischen Krakau eine solche Operation gefunden zu haben. Davon berichtet er in einer zur Publikation eingereichten und vorab auf einem Preprint-Server veröffentlichten Studie."Ein einziges Gatter mit zwei Eingängen reicht für die gesamte Boolesche Logik in digitaler Hardware aus", schreibt Odrzywołek. "In der Analysis ist keine vergleichbare Grundoperation bekannt: Die Berechnung elementarer Funktionen wie sin, cos, sqrt und log erforderte immer mehrere unterschiedliche Operationen."

Nun stellt Odrzywołek eine Funktion vor, die all das zu leisten imstande ist, allerdings nicht mit einer, sondern zwei Variablen: "Hier zeige ich, dass ein einziger binärer Operator, eml(x,y) = exp(x) – ln(y), zusammen mit der Konstante 1 das Standardrepertoire eines wissenschaftlichen Taschenrechners erzeugt. Dazu gehören Konstanten wie e, π und i, arithmetische Operationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzierung sowie die üblichen transzendenten und algebraischen Funktionen", schreibt der Forscher.

Dass sich manche dieser Funktionen auf andere zurückführen lassen, ist nicht neu. Die Exponentialfunktion, die auch Teil der von Odrzywołek vorgestellten Funktion Eml ist, und bei der eigentlich die Eulersche Zahl e mit einem Wert x potenziert wird, um das etwa aus der Verbreitung von Krankheiten bekannte exponentielle Wachstum wiederzugeben, genügt etwa für die Darstellung aller Winkelfunktionen. Dazu müssen allerdings komplexe Zahlen verwendet werden. Ebenfalls möglich ist die Darstellung von Winkelfunktionen mittels unendlicher Summenformeln, was hier aber nicht gemeint ist.

Derlei ist für Odrzywołeks Rahmen nicht nötig: Die einzige Zahl, die er verwendet, ist die Eins. Mithilfe von Eml kann er alle anderen Zahlen, inklusive wichtiger irrationaler Zahlen wie der Kreiszahl π und der Eulerschen Zahl e, daraus erzeugen. Einfach ist das in der Regel nicht. Die Formel für die Null sieht etwa so aus:

          0=eml(1, eml(eml(1, 1), 1)).


Hier zeigt Studienautor Odrzywołek, wie sich Funktionen und 
wichtige Konstanten auf Eml und die Zahl 1 zurückführen lassen.
 
 
 
 
 
 
Suche mit Computern

Dass mit Odrzywołek ein Astrophysiker und kein Mathematiker diese Entdeckung präsentiert, ist ungewöhnlich. Doch Odrzywołek beschäftigt sich intensiv mit einem Gebiet der Computerwissenschaften, das sich symbolische Regression nennt. "Es handelt sich mehr um eine Schatzsuche als um eine Denksportaufgabe", sagt er dem Wissenschaftsportal IFLScience. Im Prinzip geht es darum, aufgrund von Ergebnissen auf bestimmte Funktionen zurückzuschließen. "Im Laufe der Zeit wurde ich neugierig, wie klein die Basis für eine solche Suche sein könnte", erzählt der Physiker. Dabei stieß er auf die Funktion Eml.

Die Studie liest sich dann auch eher wie eine computerwissenschaftliche, denn wie eine mathematische Publikation. Eine Skizze des eigentlichen, konstruktiven Beweises findet sich in einer Beilage zur Studie, neben dem verwendeten Programmcode.

Der Computerwissenschafter Martin Benning vom University College London zeigt sich von der Arbeit angetan. Damit ließen sich mathematische Probleme möglicherweise in einer für KI einfacher zugänglichen Form übersetzen. "Aus der Perspektive des maschinellen Lernens ist das eine interessante und vielversprechende Wende, da sie es uns theoretisch ermöglicht, mithilfe von Standardtechniken zum Training neuronaler Netze exakte mathematische Formeln aus Daten abzuleiten", sagt Benning gegenüber IFLScience.

Wie viel Nutzen das Resultat am Ende tatsächlich bringen kann, wagt Odrzywołek nicht zu sagen. Die Zeit werde es zeigen. Praktischer Nutzen gilt bei Fragen der Mathematik ohnehin nicht als zentrale Anforderung.