Zufälle gibt es.

 
aus spektrum.de 14.04.2024                                                            zu Jochen Ebmeiers Realien,  zu Philosophierungen 

Eine Verbindung zwischen Pi und der eulerschen Zahl?

 Manchmal ist das, was nach Zufall aussieht, tatsächlich nur ein Zufall. Beeindruckend kann so eine Koinzidenz aber dennoch sein.

 

von Florian Freistetter

In den sozialen Medien findet erstaunlich viel gute Wissenschaftsvermittlung statt. Aber man findet dort, so wie in allen anderen Medien, natürlich auch jede Menge Unsinn. Man sollte also immer skeptisch bleiben. Und genau das war ich auch, als ich bei einem Mathematik-Account auf diese Formel gestoßen bin:

𝜋4 + 𝜋5 = e6

Gleich vorneweg: Diese Gleichung ist falsch. Aber ein genauerer Blick darauf lohnt sich trotzdem. Die Formel lässt sich natürlich leicht überprüfen. Die Summe von vierter und fünfter Potenz der Kreiszahl Pi ergibt 403,4287758… Die sechste Potenz der eulerschen Zahl liefert ein Ergebnis von 403,42879349… Der Unterschied taucht also schon in der fünften Nachkommastellen auf. Trotzdem ist es irgendwie erstaunlich, dass diese Kombination elementarer mathematischer Konstanten zumindest näherungsweise übereinstimmt. Hat das etwas zu bedeuten?

Nicht wirklich. Aber es sollte uns auch nicht überraschen, dass man solche Ausdrücke finden kann. Es gibt nur eine endliche Anzahl mathematischer Symbole und unendlich viele Möglichkeiten, sie zu kombinieren. Es wäre also eher erstaunlich, wenn sich dabei keine dieser näherungsweisen Übereinstimmungen finden lassen.

Ein weiteres Beispiel für eine solche Übereinstimmung ist die Gleichung 1782¹² +1841¹² =1922¹². Mit ein bisschen Wissen aus der Geschichte der Mathematik kann man schnell merken, dass auch diese Formel nicht stimmen kann. Denn wenn es so wäre, wäre sie ein Gegenbeispiel für den großen fermatschen Satz, der besagt, dass die n-te Potenz einer natürlichen Zahl nicht als Summe zweier n-ten Potenzen dargestellt werden kann, wenn n größer als 2 ist. Diese berühmte Aussage wurde im 17. Jahrhundert formuliert, aber erst 1994 bewiesen. Die drei oben genannten Zahlen sind daher auch kein Gegenbeispiel – aber teilt man die linke und die rechte Seite der Gleichung durcheinander, erhält man ein Ergebnis von 0,9999999997… Die Rechnung geht also fast auf. Aber »fast« ist in der Mathematik leider nicht gut genug.

Solche mathematischen Zufälle sind nicht nur interessant, sondern manchmal praktisch. Das Quadrat der Kreiszahl Pi stimmt in den ersten drei Nachkommastellen mit dem Bruch ²²⁷⁄₂₃ überein. Wenn man nur ein paar Überschlagsrechnungen anstellen will, sind solche Näherungen durchaus hilfreich. In diesem Zusammenhang kann man sich gleich merken, dass die dritte Potenz von Pi etwa 31,006 ist und die vierte Potenz der Kreiszahl bis auf die achte Nachkommastelle mit dem Bruch ²¹⁴³⁄₂₂ übereinstimmt.

Auch in der Physik gibt es erstaunliche Zufälle

Ähnliche Zufälle findet man ebenfalls in der Physik. Die Lichtgeschwindigkeit beträgt exakt 299 792 458 Meter pro Sekunde, was überraschend nahe an der runden Zahl von 300 Millionen Meter pro Sekunde ist. Die ursprüngliche Definition der Länge eines Meters beruht auf dem Umfang der Erde – und es gibt keinen Grund, warum die Größe unseres Planeten irgendwas mit der Geschwindigkeit des Lichts zu tun haben sollte.

Ein wenig anders liegt der Fall bei der Feinstrukturkonstante, also der Zahl, die die Stärke der elektromagnetischen Kraft angibt. Es handelt sich um eine dimensionslose Zahl und sie hat einen Wert von fast ¹⁄₁₃₇. Das war für viele durchaus überraschend: Der Astronom Arthur Eddington war davon überzeugt, dass der Wert sogar exakt ¹⁄₁₃₇ beträgt. Der Physiker Wolfgang Pauli arbeitete mit dem Psychoanalytiker Carl G. Jung zusammen, um die Bedeutung der Zahl zu verstehen, und Richard Feynman bezeichnete sie als das »greatest damn mystery of physics«.

Mein persönlicher Lieblingszufall ist die Tatsache, dass die scheinbaren Durchmesser von Sonne und Mond am Himmel näherungsweise übereinstimmen. Dafür gibt es keinen physikalischen oder astronomischen Grund, es ist wirklich reiner Zufall. Aber ein Zufall, der es uns erlaubt, immer wieder das beeindruckende Phänomen einer totalen Sonnenfinsternis beobachten zu können – wie zuletzt in Nordamerika.

 

Nota. - Den Zufall gibt es überhaupt erst, seit im Westen die Vernunft ausgebro-chen ist. Vorher war er der normale Lauf der Welt, sofern nicht göttlich Kräfte ihre Finger ins Spiel [!] brachten. Dass die Welt indes von Gesetzen beherrscht würde, die gälten, was immer einer mit ihr vorhabe, war eine Entdeckung von Galileo Gali-lei, der sie philologisch korrekt auf Platos Ideelehre zurückführte. Die Sprache, in der die verfasst wären, sei die Mathematik, die seither im öffentlichen Bewusstsein der absolute Gegenspieler aller Zufälligkeiten ist.  

Diese Vorstellung ist aber eine Fiktion, wenn auch ein nützliche, um nicht zu sagen: eine unumgängliche, wenn ich die Dinge in Raum und Zeit ("die Natur") meiner Willkür gefügig machen will. Was immer nicht ins Korsett einer mathematischen Formel passt, ist eo ipso ein Zufall; und wenn ich genügend Muße und Lebenszeit aufwenden könnte, würde ich - oder glauben Sie es vielleicht nicht? - auch den Um-stand, dass in China ein Schmetterling mit dem Flügel flattert und in Chicago ein Stuhl umfällt, unter eine mathematische Fromel bringen. Niemand würde den Auf-wand auf sich nehmen, weil niemand was damit anfangen kann. Und sehen Sie: Das eben macht einen Zufall aus. Alles andre lässt sich berechnen. 

PS. Wie groß Pi 'wirklich ist', will in Wahrheit keiner wissen: Für alle Rechunungen, die man brauchen kann, reicht aus, was man weiß. Man lässt die Maschinen nur weiterrechnen, um herauszufinden, ob es überhaupt ein Ende gibt. Dann könnte man suchen, von welcher andern Größe Pi abhängt, nämlich ob es aus einem gesetzlichen Zusammenhang ableitbar ist. Andernfals wäre es eine Zufallsgröße. Die Fol-gen wären nicht praktischer, sondern theoretischer Art und würden das mathematische Weltbild er-schüttern.

PS II. Vom Infinite Monkey Theoreme habe ich eben erst erfahren, ich schwör!       21. 4. 24
JE